Gogoratzen dut, duela urte batzuk, batxilergoa ikasten nuelarik, matematikako atalarik interesgarrienetariko bat funtzioen optimizazioarena izan zela. Denbora pasa ondoren konturatu naiz arazo hau beste arazo orokorren kasu konkretu bat besterik ez dela, funtzional baten muturren bilaketa, alegia. Esate baterako, badakigu bolumen bat aurrez finkatuta mugatzen duten gainazal guztien artean esfera dela azalera txikiena duena, edo bi dimentsiotan adierazita, badakigu eremu lau aurrez finkatuta mugatzen duten kurba guztien artean zirkunferentzia dela luzera txikiena duena. Hori dela eta naturan ikusten dugu nola ur tantak esferikoak diren.
Hau da, ekintza minimoaren printzipio delakoa, edo ekintza geldikorraren printzipioa, nire ustez zientziaren jakinen artean ikusgarrienetariko bat eta honekin batera Jaingoikoaren orojakintza hobeto erakusten diguna. Lehendabiziko printzipioaren adierazpena Pierre-Louis Moreau de Maupertuisena (1744) da, zeren "natura ekonomikoa dela bere ekintza guztietan" omen ziolako.
 |
| Louis Moreau de Maupertuis |
Beste zientzialari batzuk, Leibniz eta Euler, adibidez, ideia garatu zuten geroago,
 |
| Gottfried Wilhelm Leibniz |
 |
| Leonhard Euler |
 |
| Jean le Rond D'Alembert |
Newtonen eta Pierre de Fermaten legeak orokortzen zituena; argiaren izpien portaera aztertu ondoren (isladapena eta errefrakzioa) delako Fermaten printzipioa adierazi izan zuen: "argiaren izpi baten helbidea ez da motzena laburrena baizik, denbora gutxien behar duena, alegia".
 |
| Pierre de Fermat |
Orain aurkezten dizut, bere edertasunarengatik, printzipioaren adierazpen matematikoa, seguraski fisika edo matematika ezagutzen ez duenarentzat ulertzeko zaila; bestaldetik, wikipedian ere ikus daiteke.
Konfigurazio espazioan sistema kartesiar orokor bat finkaturik (edo atal batean, karta lokala), badakigu t1 eta t2 tartean igarotzen diren helbide guztien artean sistemak hartuko duela S ekintza minimoa izan dadin.
Ekintza magnitudea
posiblea den helbide bakoitzarako
honako hau da
non
sistemaren funtzio lagranjiana den. Kalkulu bariazionala aplikatuz egiazta daiteke helbide guztien artean S ekintza minimoa egiten duena (edo geldikorra hobeto) bere lehenengo bariazioa anulatzen duena dela, hurrengo ekuazioaren soluzioa, alegia:
eta hemendik deduzitzen da Euler-Lagrangeren ekuazio ospetsua:
 |